Родился в 1915 году в деревне Иваки Тереховского района Гомельской области. Белорус, из крестьян.

До призыва в Красную Армию Д.Я. Лешков работал на железной дороге. После демобилизации и до июня1941 года трудился на прежнем месте работы.

С первых дней Великой Отечественной войны Д.Я. Лешков находился в действующей армии. Он служил автоматчиком, пулеметчиком на Западном фронте, помощником командира взвода на 1-м Белорусском и 4-м Украинском фронтах. Боевой путь Дмитрия Яковлевича отмечен орденами Славы 3-й степени и Отечественной войны 2-й степени, медалями: «За отвагу», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945», «За победу над Японией».

После войны и демобилизации из армии в 1947 году Д.Я. Лешков работал кочегаром в отопительный сезон Гомельском облисполкоме.

В 1955–1956 годах он работал кочегаром учебного корпуса Гомельского государственного педагогического института имени В.П. Чкалова.