Родился в 1893 году в городе Речице Гомельской области. Еврей, из служащих.

В 1911–1918 годах З.Н. Финкельберг работал музыкантом по найму. С 1918 по 1949 год он служил в рядах Красной Армии в качестве дирижёр

В годы Великой Отечественной войны Зальман Носонович был начальником штаба госпиталя на Ленинградском фронте. За годы военной службы гвардии капитан З.Н. Финкельберг был награжден орденами Ленина и Красного Знамени, медалями: «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941–1945», «За победу над Японией» и другими.

После ухода в отставку из армии З.Н. Финкельберг в 1949-1954 годах, работал дирижером в Доме культуры имени В.М. Молотова в Ленинграде.

В октябре–декабре 1954 года Зальман Носонович Финкельберг работал руководителем оркестра Гомельского государственного педагогического института имени В.П. Чкалова.