Родился в 1892 году в деревне Старо-Белиица Уваровичского района Гомельской области. Белорус, из крестьян.

В 1914 году А.К. Цыганков сдал экзамен на право работать учителем начальной школы при Гомельской мужской гимназии и работал учителем начальных школ в Рогачевском районе, а с 1925 года – в городе Гомеле. В 1930 году он поступил в Гомельский педагогический (агропедагогический) институт, который в 1932 году окончил и продолжал работать в Гомеле: инспектором городского, районного отделов народного образования, директором СШ №12.

С первых дней Великой Отечественной войны А.К. Цыганков вступил в народное ополчение, участвовал в обороне города Гомеля, с оставшимися в живых ополченцами был эвакуирован в город Сталинград. В составе Балаклавского саперного полка он участвовал в строительстве укрепрайона. В бою 24 августа 1942 года А.К. Цыганков был тяжело ранен и попал в плен. В марте 1943 году он бежал из плена, добрался до Гомеля, где скрывался до освобождения города войсками Красной Армии.

По состоянию здоровья А.К. Цыганкова не могли призвать в армию. В 1943–1947 годах он работал школьным инспектором городского отдела народного образования, в 1947–1952 годах – завучем СШ № 16.

С 1952 по 1955 год Алексей Клементьевич Цыганков работал преподавателем естествознания, заведующим опытным участком, старшим лаборантом кафедры ботаники Гомельского государственного педагогического института имени В.П. Чкалова.