Родился в 1910 году в деревне Новая Мильча Гомельского района Гомельской области. Белорус, из крестьян.

Рабочий путь К.М. Чернодирова начался на строительстве завода «Гомсельмаш» в 1929 году. В 1931–1933 годах он трудился на железнодорожном транспорте, а 1934 до 1941 года его работа была связана с военно-строительным комбинатом в городе Гомеле.

Начало Великой Отечественной войны К.М. Чернодиров встретил в рядах Красной Армии. Летом 1941 года он попал в плен, был в лагере в городе Бобруйске, бежал из лагеря и вернулся к родителям. В период оккупации занимался сельским хозяйством.

После освобождения Гомельщины от гитлеровских захватчиков К.М.Чернодиров с 1943 по 1945 год служил в войсках в составе 1-го Белорусского фронта. В 1944 году под городом Лодзь он был тяжело ранен.

Демобилизовавшись из армии, К.М. Чернодиров возвратился в город Гомель. В 1948–1953 годах он работал в артели «Молот».

С ноября 1953 по март 1954 года Конон Михеевич Чернодиров работал кочегаром в Гомельском государственном педагогическом институте имени В.П. Чкалова.