Родился в 1924 году в деревне Гута Ветковского района Гомельской области. Белорус, из крестьян.

В 1939 году Алексей Никифорович поступил в Гомельский железнодорожный техникум, который окончил в августе 1942 года в городе Саратове. Занимаясь в техникуме, он одновременно работал проводником вагонов Саратовского отделения Рязанско-Уральской железной дороги.

В сентябре 1942 года А.Н. Бекаревич был мобилизован в ряды Красной Армии, где прослужил до января 1946 года. В 1944–1945 годах участвовал в боевых действиях на территории Болгарии, Румынии, Югославии и Венгрии.

После демобилизации, с февраля по июнь 1946 года, обучался на подготовительном отделении Гомельского государственного педагогического института им. В.П. Чкалова. После окончания в 1948 году Гомельского учительского института работал учителем физики в деревне Хизы Ветковского района и одновременно заочно занимался на физико-математическом факультете Гомельского госпединститута, который окончил в 1952 году. В 1952–1956 годах работал преподавателем Гомельского речного техникума.

С 1956 года трудовая деятельность Алексея Никифоровича тесно связана с Гомельским государственным педагогическим институтом и Гомельским государственным университетом, где он работал старшим преподавателем, заведующим кафедрой математического анализа, доцентом этой же кафедры. В 1963 году А.Н. Бекаревич заочно окончил аспирантуру при Калининском педагогическом институте и в 1970 году защитил кандидатскую диссертацию. В 1973 году Высшей аттестационной комиссией он был утвержден в ученом звании доцента.

В ноябре 1992 года доцент кафедры математического анализа Гомельского государственного университета Алексей Никифорович Бекаревич ушел на заслуженный отдых.