Родился в 1912 году в городе Витебске. Белорус, из служащих.

После окончания семи классов Евгений Игнатьевич поступил в педагогическое училище и окончив его, в 1931 году, работал учителем Белыничской неполной средней школы в Могилевской области. В 1934 году поступил в Ленинградский педагогический институт им. А.И. Герцена. В 1938 году окнчил Коммунистический университет им. Н.К. Крупской в городе Ленинграде. Получив высшее образование, Евгений Игнатьевич в 1938 году возвратился в Белоруссию и работал старшим преподавателем, затем и.о. заведующего кафедрой педагогики и психологии Рогачевского учительского института.

В начале Великой Отечественной войны, в июле 1941 года, Евгений Игнатьевич добровольцем вступил в ряды защитников Родины, участвовал в обороне города Гомеля. В октябре 1941 года, будучи тяжело раненым, попал в плен. В мае 1942 года Евгению Игнатьевичу удалось бежать из лагеря военнопленных, который находился в городе Орле, и он вступил в партизанский отряд 16-й Смоленской партизанской бригады, где сражался рядовым, затем командиром взвода до соединения с частями Красной Армии. В августе 1944 года был демобилизован и направлен на педагогическую работу.

Участие Е.И. Балашова в борьбе с немецко-фашистскими захватчиками в составе Западного и Прибалтийского фронтов, в партизанском движении отмечено медалями «Партизану Отечественной войны» и «За победу над Германией».

Демобилизовавшись из рядов Красной Армии, Евгений Игнатьевич работал в 1944-1946 годах преподавателем, заведующим кафедрой в городе Мозыре, в 1946-1948 годах – старшим преподавателем Могилёвского педагогического института. В 1948–1957 годах трудовая деятельность Е.И. Балашова связана с работой в высших педагогических учебных заведениях Российской Федерации. В 1948–1950 годах он работал старшим научным сотрудником в городе Москве, в 1950–1955 годах – старшим преподавателем учительского института в городе Кимры Калужской области; в 1955–1956 годах – старшим преподавателем, и.о. заведующего кафедрой Муромского педагогического института Владимирской области, в 1956–1957 годах – старшим преподавателем педагогического института в городе Новозыбкове Брянской области. Во время работы в вузах России он защитил кандидатскую диссертацию.

В 1957 году Е.И. Балашов был избран по конкурсу старшим преподавателем кафедры педагогики Гомельского государственного педагогического института им. В.П.Чкалова, в 1971 году ВАК при СМ СССР присвоил ему ученое звание доцента. На кафедре педагогики Гомельского государственного университета Евгений Игнатьевич работал до выхода на пенсию.