Родился в 1910 году в деревне Руденец Уваровичского района Гомельской области. Белорус, из рабочих.

Трудовую деятельность М.И. Кульбаков начал слесарем-формовщиком Гомельского паровозовагоноремонтного завода в 1925 году. С 1930 по 1933 год он возглавлял Уваровичский районный совет ОСОАВИАХИМ, работал фининспектором в районной сберкассе, в 1933–1935 годах проходил службу в Красной Армии в 38-ом кавалерийском полку в городе Минске. После демобилизации из армии М.И. Кульбаков в 1935–1936 годах работал заведующим Белсельхозснабом в местечке Уваровичи, в 1936–1939 годах – председателем сельсовета в деревне Липа. В 1939–1941 годах он учился в Минской школе МВД имени М.В. Фрунзе.

С первых дней Великой Отечественной войны М.И. Кульбаков принимал участие в боевых действиях. Начальником боевой истребительной группы вместе с войсками он прошёл от Минска до Кричева. В боях за город Кричев был ранен и, после госпиталя, был откомандирован в распоряжение МВД Узбекской ССР.

После освобождением БССР от гитлеровской оккупации М.И. Кульбаков возвратился в республику. В 1944–1947 годах он служил в органах внутренних дел Журавичского района Гомельской области, в 1947–1952 годах работал заведующим складом в Гомеле, в 1952–1953 годах – рабочим Быховским пищекомбинатом Могилёвской области.

С декабря 1953 по февраль 1956 года Моисей Иванович Кульбаков работал комендантом жилого дома в Гомельском государственном педагогическом институте имени В.П.Чкалова.