Родился в декабре 1920 года в селе Головенька Батуринского района Черниговской области. Украинец, из крестьян.

В 1936 Г.М. Гаман окончил Конотопский техникум путей сообщения и до 1940 года работал техником на станции Брянск. В 1940–1941 годах он был курсантом полковой школы 3-й железнодорожной бригады.

В годы Великой Отечественной войны Г.М. Гаман принимал участие в боевых действиях на Центральном, 2-м Белорусском и Забайкальском фронтах. С июня 1941 по декабрь 1942 года он служил ротным техником 75-го батальона железнодорожных войск, с ноября 1942 по июнь 1943 года – помощник начальника технической разведки 78-го батальона 4-й железнодорожной бригады. С июня 1943 по июнь 1944 года Г.М. Гаман являлся курсантом Ленинградского военного железнодорожного училища, а с июня 1944 по сентябрь 1945 года он – командир взвода 78-го батальона железнодорожных войск. С войсками Красной Армии Григорий Михайлович Гаман побывал на территории Польши, Германии, Маньчжурии и был награжден медалями: «За оборону Москвы», «За боевые заслуги», «За освобождение Варшавы», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945» и «За победу над Японией».

После войны Г.М. Гаман окончил Ленинградский институт инженеров железнодорожного транспорта. В 1952-1954 он работал в Гомеле старшим инженером технического отдела Белорусской железной дороги, инженером технического бюро, а с октября 1954 года – ассистентом кафедры графики Белорусского института инженеров железнодорожного транспорта. В 1957 году Григорий Михайлович работал по совместительству преподавателем черчения в Гомельском государственном педагогическом институте имени В.П. Чкалова.