Родился в 1920 году в деревне Нижняя Тощица Быховского района Могилевской области. Белорус, из служащих.

После окончания в 1938 году средней школы поступил в Витебский государственный педагогический институт и до начала Великой Отечественной войны окончил 3 курса. С началом войны был эвакуирован в Саратовскую область. Там в августе-ноябре работал на уборке урожая в колхозе «Красная Звезда», затем подсобным рабочим на фабрике К. Цеткин, которая была эвакуирована из Витебска в Ульяновскую область. В ноябре 1941 года был мобилизован в ряды Красной Армии и направлен на Ленинградские курсы усовершенствования политсостава запаса, которые дислоцировались в городе Мелекесс.

В феврале 1942 года Георгий Саввич был направлен замполитом роты 170-го стрелкового полка 58-й стрелковой дивизии. В боевых действиях участвовал в составе Донского соединения. 17 июля был ранен и до конца ноября находился на излечении в эвакогоспитале в Горьковской области. После госпиталя Георгий Саввич до августа 1945 года служил в 85 аэродромно-технической роте (Калининский, 1-й Прибалтийский, 3-й Белорусский фронты). Он закончил войну в Восточной Пруссии и 30 августа 1945 г. был демобилизован.

За мужество и героизм, проявленные в годы Великой Отечественной войны, Г.С. Евдокименко был награждён орденом Отечественной войны 1-й степени, медалями «За отвагу», «За победу над Германией» и другими наградами.

В 1945-1946 Георгий Саввич году работал заведующим отделом культпросветработы Мстиславского района Могилевской области. В 1947 году он окончил исторический факультет Ярославского государственного педагогического института им. К. Ушинского С августа 1947 г. в течение нескольких месяцев работал преподавателем истории в средней школе № 1 и педучилище г. Мстиславля. В декабре этого же года Г.С. Евдокименко поступил в аспирантуру при Минском пединституте им. А.М. Горького. По её окончании в 1950 г. он был направлен на работу в Гомельский государственный педагогический институт имени В.П. Чкалова, где работал старшим преподавателем, доцентом, заместителем директора по учительскому институту, заместителем директора института по учебной и научной работе, деканом филологического факультета.

С образованием Гомельского государственного университета Г.С. Евдокименко работал заведующим кафедрой истории СССР и всеобщей истории, а с 1984 г. – истории СССР и БССР. Долгие годы Георгий Саввич являлся членом Республиканского общества охраны памятников истории и культуры, возглавлял его областное и городское отделения, был активным лектором общества «Знание». На протяжении многих лет он возглавлял совет ветеранов ГГУ им. Франциска Скорины. За многолетнюю и добросовестную педагогическую и общественную деятельность Георгий Саввич был награждён орденом «Трудового Красного Знамени» (1967 г.), медалью «За доблестный труд» (1970 г.), нагрудными знаками «Отличник народного просвещения» Миинпроса БССР и «За отличные успехи в работе» Минвуза СССР