Родился в 1926 году в деревне Сокольщина Узденского района Минской области в многодетной крестьянской семье. В конце 1941 г. 15-летним подростком стал участником Узденского подполья, а с февраля 1942 г. был в составе партизанского отряда капитана Н.М. Никитина. В июле 1944 года добровольцем ушёл на фронт и стал пулемётчиком 1223 стрелкового полка 50-й армии 2-го Белорусского фронта. За мужество, проявленное в боях под Новогрудком, Б.В. Бокуть награждён медалью «За отвагу». В августе 1944 года он был ранен и находился на лечении в г. Бузулуке Туркменской ССР. С апреля по август 1945 года служил в частях НКВД в г. Ашхабаде.

В 1947 г. Б.В. Бокуть окончил Узденскую среднюю школу с золотой медалью и поступил на отделение физики физико-математического факультета БГУ. В 1952 году, получив диплом с отличием, он стал аспирантом кафедры теоретической физики БГУ. В январе 1956 года успешно защитил диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. С декабря 1955 по август 1973 года работал в Институте физики АН БССР младшим, старшим научным сотрудником, а затем заведующим лаборатории кристаллооптики. В мае 1972 года. Б.В. Бокуть защитил докторскую диссертацию, а в феврале 1973 г. ему была присвоена степень доктора физико-математических наук.

В августе 1973 г. по рекомендации отдела науки и учебных заведений ЦК КПБ Б.В. Бокуть назначен ректором Гомельского государственного университета. Занимая эту должность в течение 16 лет, Б.В. Бокуть проделал значительную работу по развитию материально-технической базы университета, укреплению его кадрового потенциала, совершенствованию учебно-воспитательного процесса, повышению эффективности научно-исследовательской работы преподавателей и сотрудников ГГУ. В 1974 году Б.В. Бокуть был избран член-корреспондентом, а в 1980 г. – академиком АН Беларуси. 26 декабря 1978 г. Указом Президиума Верховного Совета БССР ему присвоено почётное звание «Заслуженный деятель науки Белорусской ССР». За годы работы в университете академиком Б.В. Бокутем была создана научная школа по оптике, которая получила известность далеко за пределами республики. Им было опубликовано около 200 научных работ, получено более 15 авторских свидетельств на изобретения. В 1984 году за цикл работ «Высокоэффективное нелинейное преобразование частоты в кристаллах и создание перестраиваемых источников когерентного оптического излучения», опубликованных в 1963–1982 годах, Постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР Б.В. Бокутю в составе группы известных учёных Советского Союза была присуждена Государственная премия СССР.

С 1989 г. по 1993 г. Борис Васильевич работал в Институте физики АН Беларуси. Б.В. Бокуть всегда принимал активное участие в общственной жизни города и республики, избирался депутатом Верховного Совета БССР, депутатом Гомельского областного Совета народных депутатов, возглавлял областной Комитет защиты мира и т. д. Б.В. Бокуть был награждён двумя орденами Трудового Красного Знамени (1981 г., 1986 г.), орденом Отечественной войны I степени (1985 г.), 10 медалями и двумя Почётными Грамотами Верховного Совета БССР. В 2001 г. состоялось торжественное открытие мемориальной доски с барельефом Б.В. Бокутя, установленной на корпусе № 5 ГГУ им. Ф.Скорины.