Родился в 1922 году в городе Сталинграде. Русский, из рабочих.

До начала Великой Отечественной войны окончил Сталинградское железнодорожное училище. С первых дней нападения фашистской Германии на СССР был мобилизован в ряды Красной Армии. В боевых действиях принимал участие в составе Южного, Юго-Западного и 3-го Белорусского фронтов.

После окончания войны Александр Алексеевич остался служить в армии и прошел путь от рядового до командира артиллерийского дивизиона. Родина высоко оценила ратный путь воина-артиллериста. Александр Алексеевич награждён 4 орденами и 20 медалями, заслуженных в боях с врагами Родины и в период подготовки молодого поколения к ее защите.

После выхода в отставку подполковник А.А. Костиков до 1990 года работал лаборантом на кафедре физического воспитания в Гомельском государственном университет им. Ф.Скорины, проводил большую воспитательную работу среди сотрудников и студентов, молодежи города. Александр Алексеевич многие годы возглавлял Совет ветеранов Великой Отечественной войны университета.