Родился в 1921 году в городе Гомеле. Белорус, выходец из рабочей семьи.

В 1939 году, после окончания средней школы, Н.А. Елецкий поступил в Ленинградский индустриальный институт, но учиться ему долго не пришлось. Началась советско-финляндская война. В декабре 1939 года Николай Александрович был призван в Красную Армию и принимал участие в военных действиях на Карельском перешейке.

С началом Великой Отечественной войны он служил на Карельском фронте под Кандалакшей в качестве связиста. Войну закончил, работая на агитмашинах 2-го Белорусского фронта. Боевой путь лейтенанта Н.А. Елецкого отмечен медалями «За боевые заслуги», «За оборону Советского Заполярья», «За победу над Германией».

После демобилизации из рядов Советской Армии вся жизнь Николая Александровича связана с родным Гомелем. Он окончил Гомельский государственный педагогический институт им. В.П.Чкалова, работал в институте ассистентом, старшим преподавателем (с 1956 года), а в 1964 году был избран деканом физико-математического факультета.

С 1983 года старший преподаватель кафедры математического анализа Гомельского государственного университета Николай Александрович Елецкий на заслуженном отдыхе.